Biniusの革新：バイナリドメインに基づくSTARKs最適化ソリューション

2025-07-16 14:50:01

Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの非効率の主な理由の一つは、実際のプログラムにおいてほとんどの数値が小さいことですが、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めるため、元の値自体が非常に小さい場合でもそうなります。この問題を解決するために、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに対して、二進数フィールドはビットに直接操作を行うことを許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースはありません。つまり、第4世代STARKsです。

Goldilocks、BabyBear、Mersenne31など、近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進法体の研究は1980年代までさかのぼります。現在、二進法体は暗号学に広く応用されており、典型的な例としては：

高度暗号標準(AES)、F28フィールドに基づく；
F2128ドメインに基づくガロアメッセージ認証コード(GMAC)。
QRコードは、F28に基づくリード・ソロモン符号を使用します；
元のFRIおよびzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナリストであるGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さい体を使用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進法体は、その安全性と実際の利用可能性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算で関与する多項式は、拡張体に入る必要はなく、基本体の下で操作するだけで済むため、小さな体で高い効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深く入る必要があります。

バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際、2つの実際的な問題があります：STARKsでトレースを表現する際に使用するフィールドのサイズは多項式の次数より大きくなければならず；STARKsでメルクルツリーのコミットメントを行う際には、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化された後のサイズより大きくなければなりません。

Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することを実現しました。まず、単変数多項式の代わりに多変数（具体的には多線形）多項式を使用し、その値を「超立方体」（hypercubes）上で取ることで、全体の計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準のReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形（square）として見なし、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことが可能です。この方法は、安全性を確保しながら、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在のほとんどのSNARKsシステムの構築は通常、以下の2つの部分を含みます：

情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明（Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP）：PIOPは証明システムのコアとして、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信することを許可し、検証者は少量の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。現在のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。
多項式コミットメントスキーム（Polynomial Commitment Scheme, PCS）：多項式コミットメントスキームは、PIOPが生成した多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールの一つで、証明者は特定の多項式をコミットし、後でその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI（Fast Reed-Solomon IOPP）、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的なニーズに応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線を組み合わせることで、異なる特性を持つ証明システムを構築できます。例えば：

• Halo2：PLONK PIOPとBulletproofs PCSを組み合わせ、Pasta曲線に基づいています。Halo2の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCashプロトコルのtrusted setupを排除しています。

• Plonky2：PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されるPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致する必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、信頼できる設定なしで透明性を実現できるかどうか、再帰的証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。まず第一に、バイナリフィールドのタワーに基づく算術がその計算の基礎を形成し、バイナリフィールドでの単純化された演算を実現できます。次に、Biniusは、インタラクティブなOracle Proof Protocol(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保しました。第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニアシフト引数が導入されています。第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップメカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。最後に、このプロトコルはスモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、大規模なドメインに通常関連するオーバーヘッドを削減できます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワービナリーフィールドは、高速検証可能計算を実現するための鍵であり、主に2つの側面に起因します：効率的な計算と効率的な算術化です。バイナリーフィールドは本質的に高度に効率的な算術操作をサポートし、これにより性能要件に敏感な暗号学的アプリケーションに理想的な選択肢となります。さらに、バイナリーフィールドの構造は、簡略化された算術化プロセスをサポートします。つまり、バイナリーフィールド上で実行される演算は、コンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加えて、タワー構造を通じて階層的な特性を十分に活用できることが、バイナリーフィールドをBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適したものにしています。

ここで「canonical」とは、二進数体における要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的な二進数体F2では、任意のkビットの文字列は直接kビットの二進数体要素にマッピングできます。これは素数体とは異なり、素数体は指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数体は32ビット内に収めることができますが、すべての32ビットの文字列が一意に体要素に対応できるわけではなく、二進数体はこの一対一のマッピングの便利さを備えています。素数体Fpにおける一般的な縮約方法には、Barrett縮約、Montgomery縮約、およびMersenne-31やGoldilocks-64など特定の有限体に対する特殊な縮約方法が含まれます。二進数体F2kにおいて一般的な縮約方法には、特殊縮約（AESで使用されるものなど）、Montgomery縮約（POLYVALで使用されるものなど）、および再帰的縮約（Towerなど）が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、二進数体は加算および乗算においてキャリーを導入する必要がなく、二進数体の平方演算は非常に効率的であると指摘されています。なぜなら、それは(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡素化されたルールに従うからです。

! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素として扱うことも、2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換（typecast）に過ぎず、非常に興味深く有用な属性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしに、より大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットタワー型バイナリフィールド（mビットサブフィールドに分解可能）における乗算、平方、および逆演算の計算複雑性について考察しています。

2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルにおけるPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式と多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには以下が含まれます：

GateCheck：秘密証明ωと公開入力xが回路の演算関係C(x,ω)=0を満たしているかを検証し、回路が正しく動作することを確保します。
PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf(x) = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf(π(x))。
LookupCheck：多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかどうかを検証します。つまり、f(Bµ) ⊆ T(Bµ)であり、特定の値が指定された範囲内にあることを保証します。
MultisetCheck：2つの多変数集合が等しいかどうかをチェックします。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。
ProductCheck：有理多項式がブール超立方体上で評価される値がある宣言された値∏x∈Hµ f(x) = sと等しいかどうかを検査し、多項式の積の正確性を保証します。
ZeroCheck：任意の点がブール超立方体上の多変数多項式がゼロであるかを検証する∏x∈Hµ f(x) = 0,∀x ∈ Bµ、ポリノミアルのゼロ点分布を保証するために。
SumCheck：宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sが多変数多項式の求和であるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを軽減します。また、SumCheckはランダム数を導入することで、複数の和の検証インスタンスをバッチ処理するための線形結合を構築することを可能にします。
BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、Biniusは以下の3つの点で改良を加えています：

ProductCheckの最適化：HyperPlonkにおいて、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであることと、積が特定の値と等しいことを要求します。Biniusはその値を1に特化することによって、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低下させました。
ゼロ除算の処理：HyperPlonkはゼロのケースを十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言できませんでした。Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロの場合でもBiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積値への拡張を許可します。
列を跨いだPermutationCheck：HyperPlonkにはこの機能がありません；Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の排列状況を処理できるようになります。

したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改善することにより、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの制限を解決するだけでなく、将来の二進法ドメインに基づく証明システムの基盤を築くものです。