Biniusプロトコル解析：二進数ドメインにおけるSTARKsの最適化と革新

2025-07-20 17:03:44

Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの効率が低下する主要な理由は、実際のプログラムにおいてほとんどの数値が小さいことです。例えば、forループ内のインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、メルクルツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めてしまいます。たとえ元の値自体が非常に小さくてもです。この問題を解決するためには、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となります。

表1に示すように、第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として多くの無駄なスペースが存在します。それに比べて、バイナリフィールドはビットに直接操作を行うことを許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的かつ無駄なスペースがありません、すなわち第4世代STARKsです。

表1:STARKsの進化経路

| 代数 | コーディングビット幅 | 代表システム | |------|----------|----------| | ジェネレーション1 | 252ビット | スタークウェア |
| ジェネレーション2 | 64ビット | プロンキー2 | | ジェネレーション3 | 32ビット | ポリゴン zkEVM | | ジェネレーション4 | 1ビット | ビニウス |

ゴルディロックス、ベイビーベア、マースェン31など、近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代に遡ります。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には以下が含まれます:

F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。
Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128フィールドに基づく;
QRコードはF28に基づくリード・ソロモン符号を使用しています;
オリジナルのFRIおよびzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さなフィールドを使用する場合、拡張フィールドの操作はセキュリティを確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する2進数フィールドは、そのセキュリティと実用性を保証するために完全に拡張フィールドに依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は、拡張フィールドに入る必要はなく、基本フィールドの下で操作するだけで、小さなフィールドで高い効率を実現します。しかし、ランダムポイントのチェックとFRI計算は、必要なセキュリティを確保するために、より大きな拡張フィールドに深く入る必要があります。

バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際、2つの実際的な問題があります：STARKsでトレース表現を計算する際に使用するフィールドのサイズは多項式の次数より大きくする必要があります；STARKsでMerkleツリーのコミットメントを行う際には、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化された拡張サイズより大きくする必要があります。

Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することによって実現しました: まず、単変数多項式の代わりに多変数(具体的には多線形)多項式を使用し、その「超立方体」(hypercubes)上での値を通じて全体の計算軌跡を表現します; 次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形(square)と見なして、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しつつ、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在のほとんどのSNARKsシステムの構築には通常、以下の2つの部分が含まれます:

情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明(Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP):PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信できるようにし、検証者は少数の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。
多項式コミットメントスキーム(Polynomial Commitment Scheme, PCS):多項式コミットメントスキームは、PIOPが生成した多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールの一種で、これにより証明者は特定の多項式をコミットし、後でその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI(Fast Reed-Solomon IOPP)、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的なニーズに応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:

• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 は設計時にスケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を削除することに注力しています。

• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際、選択されたPIOPとPCSは使用される有限体または楕円曲線と一致している必要があり、システムの正確性、パフォーマンス、セキュリティを確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。まず、バイナリfields(のタワーバイナリドメイン)towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニアシフト引数が導入されています。第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップメカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワービットフィールドは、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に2つの側面に起因しています: 効率的な計算と効率的な算術化です。ビットフィールドは本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、パフォーマンスに敏感な暗号学的アプリケーションに理想的な選択肢となっています。さらに、ビットフィールド構造は簡略化された算術化プロセスをサポートしており、ビットフィールド上で実行される演算は、コンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加え、タワー構造を通じてその階層的特性を十分に活用できる能力は、ビニウスのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。

ここで「canonical」は、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列はkビットのバイナリーフィールド要素に直接マッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数フィールドは32ビット内に収めることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応するわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を備えています。素数フィールドFpでは、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、Mersenne-31やGoldilocks-64など特定の有限体に対する特殊還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kでは、一般的な還元方法には特殊還元(（AESで使用される)）、Montgomery還元(（POLYVALで使用される)）、および再帰的還元(（Tower)）が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、バイナリーフィールドは加算や乗算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であると指摘されています。なぜなら、それは(X + Y )2 = X2 + Y 2 の簡略化規則に従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドのコンテキストでさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールドのユニークな要素と見なされるか、2つの64ビットタワーフィールドの要素、4つの32ビットタワーフィールドの要素、16の8ビットタワーフィールドの要素、または128のF2フィールドの要素として解析できます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換(typecast)にすぎず、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させます。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットタワー型バイナリフィールドで(、mビットのサブフィールド)に分解して乗算、平方、および逆数の計算の複雑さについて探討しています。

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2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式と多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには、

GateCheck: 検証秘密証明ωと公開入力xが回路計算関係C(x,ω)=0を満たしているかどうかを確認し、回路が正しく動作することを保証します。
PermutationCheck:二つの多変数多項式fとgがブール超立方体上での評価結果が置換関係であるかどうかを検証するf(x) = f(π(x))、これにより多項式の変数間の並びの一貫性を確保します。
LookupCheck: 多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかを検証します。つまり、f(Bµ) ⊆ T(Bµ)、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。
MultisetCheck: 2つの多変数集合が等しいかどうかをチェックします。つまり、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。
ProductCheck:有理多項式がブール超立方体上での評価がある宣言された値∏x∈Hµ f(x) = sに等しいかどうかを検出し、多項式の積の正確性を確保します。
ZeroCheck: 任意の点がブール超立方体上の多変数多項式がゼロであるかを検証します∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を確保するため。
SumCheck: 多変数多項式の求和が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを軽減します。さらに、SumCheckはバッチ処理を許可し、ランダム数を導入することで、複数の和の検証インスタンスに対するバッチ処理を実現します。
BatchCheck: SumCheckに基づいて、複数の多変数多項式の評価の正しさを検証し、プロトコルの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点があるが、以下の3つの点で改善されている。

ProductCheckの最適化: HyperPlonkでは、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであり、積が特定の値に等しいことを要求します; Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減します。
ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロ除算のケースを十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言できませんでした; Biniusはこの問題を正しく処理しており、分母がゼロの場合でも、BiniusのProductCheckは処理を続行でき、任意の積値への拡張を許可します。
列間のPermutationCheck:HyperPlonkにはこの機能がありません;Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の並び替えの状況を処理できるようになります。

したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改善することにより、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。