Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, nhưng để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252 bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64 bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32 bit, nhưng độ rộng mã hóa 32 bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với điều đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện nghiên cứu mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy cứu đến những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
QR mã, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl đã vào chung kết SHA-3, hàm băm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Và miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn dựa vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tiễn: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng cần lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng cần lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý riêng biệt hai vấn đề này và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến (cụ thể là đa thức đa tuyến) thay cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" (hypercubes) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể mở rộng theo tiêu chuẩn Reed-Solomon như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như là hình vuông (square), dựa trên hình vuông đó để mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán một cách đáng kể.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Bằng chứng Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống bằng chứng, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua việc tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh gửi từng bước một đa thức, để người xác minh có thể xác minh xem tính toán có đúng hay không thông qua việc truy vấn kết quả đánh giá của một số lượng nhỏ đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý khác nhau đối với biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức do PIOP tạo ra có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và các tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh có các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để thực hiện đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, nhằm đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các组合 này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu suất xác minh của SNARK, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản hóa trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của nó (PIOP) đã điều chỉnh kiểm tra tích và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một chứng minh tìm kiếm Lasso phiên bản cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng giải pháp cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Miền hữu hạn: Số học dựa trên các tháp của trường nhị phân
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và hình thức số học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng khai thác đầy đủ các đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, trường số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong số bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử trong trường, trong khi trường nhị phân có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery và các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm được sử dụng phổ biến bao gồm giảm đặc biệt (như trong AES), giảm Montgomery (như trong POLYVAL) và giảm đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Các Triển Khai Phần Cứng ECC Trường Số Nguyên Tố So Với Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả vì nó tuân theo quy tắc rút gọn (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách khác nhau trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền 64 bit, bốn phần tử miền 32 bit, 16 phần tử miền 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, bình phương và đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân tích thành miền con m bit).
2.2 PIOP：bản sửa đổi HyperPlonk Product và PermutationCheck------được áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là mối quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý trên siêu khối Boolean có bằng với giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa thức nhiều biến tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo ∑x∈Hµ f(x) = s hay không. Bằng cách chuyển đổi bài toán đánh giá đa thức nhiều biến thành bài toán đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 tại mọi điểm trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định rằng U không bằng 0 trên siêu lập phương; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý xác thực đa thức đa biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP：mới multilinear shift argument------thích hợp cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả với các đa thức được phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:
Gói: Phương pháp này tối ưu hóa hoạt động bằng cách đóng gói các phần tử nhỏ hơn ở vị trí liền kề trong thứ tự từ điển thành các phần tử lớn hơn. Toán tử Gói hoạt động trên các khối có kích thước 2κ và kết hợp chúng thành một phần tử duy nhất trong miền bậc cao. Thông qua việc mở rộng đa tuyến tính.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
Binius đổi mới: Giải pháp tối ưu STARKs dựa trên miền nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, nhưng để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252 bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64 bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32 bit, nhưng độ rộng mã hóa 32 bit vẫn còn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với điều đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện nghiên cứu mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy cứu đến những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
QR mã, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl đã vào chung kết SHA-3, hàm băm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Và miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn dựa vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tiễn: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng cần lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng cần lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý riêng biệt hai vấn đề này và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến (cụ thể là đa thức đa tuyến) thay cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" (hypercubes) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể mở rộng theo tiêu chuẩn Reed-Solomon như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như là hình vuông (square), dựa trên hình vuông đó để mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán một cách đáng kể.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Bằng chứng Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống bằng chứng, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua việc tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh gửi từng bước một đa thức, để người xác minh có thể xác minh xem tính toán có đúng hay không thông qua việc truy vấn kết quả đánh giá của một số lượng nhỏ đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý khác nhau đối với biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức do PIOP tạo ra có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và các tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh có các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để thực hiện đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, nhằm đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các组合 này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu suất xác minh của SNARK, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản hóa trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của nó (PIOP) đã điều chỉnh kiểm tra tích và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một chứng minh tìm kiếm Lasso phiên bản cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng giải pháp cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Miền hữu hạn: Số học dựa trên các tháp của trường nhị phân
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và hình thức số học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng khai thác đầy đủ các đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, trường số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong số bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử trong trường, trong khi trường nhị phân có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery và các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm được sử dụng phổ biến bao gồm giảm đặc biệt (như trong AES), giảm Montgomery (như trong POLYVAL) và giảm đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Các Triển Khai Phần Cứng ECC Trường Số Nguyên Tố So Với Trường Nhị Phân" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả vì nó tuân theo quy tắc rút gọn (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách khác nhau trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền 64 bit, bốn phần tử miền 32 bit, 16 phần tử miền 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, bình phương và đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân tích thành miền con m bit).
2.2 PIOP：bản sửa đổi HyperPlonk Product và PermutationCheck------được áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là mối quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý trên siêu khối Boolean có bằng với giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa thức nhiều biến tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo ∑x∈Hµ f(x) = s hay không. Bằng cách chuyển đổi bài toán đánh giá đa thức nhiều biến thành bài toán đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 tại mọi điểm trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định rằng U không bằng 0 trên siêu lập phương; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý xác thực đa thức đa biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP：mới multilinear shift argument------thích hợp cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả với các đa thức được phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính: