Phân tích nguyên lý STARKs Binius và suy nghĩ về tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các số trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của bằng chứng dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ nhất là 252 bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64 bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32 bit, nhưng bề rộng mã hóa 32 bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với điều đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường dẫn phát sinh STARKs
| Đại số | Độ rộng mã hóa | Hệ thống đại diện |
|------|----------|----------|
| Thế hệ 1 | 252bit | StarkWare |
| Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 |
| Thế hệ thứ 3 | 32bit | Polygon zkEVM |
| Thế hệ thứ 4 | 1bit | Binius |
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện nghiên cứu gần đây về miền hữu hạn, nghiên cứu về miền nhị phân có thể truy nguyên về thập kỷ 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực mật mã, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
QR mã, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn dấu vết trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện dữ liệu giống nhau bằng hai cách khác nhau: trước tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì mỗi chiều của siêu khối đều có độ dài là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể xem siêu khối như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là lõi của hệ thống chứng minh, biến đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức thông qua việc tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, trong khi vẫn ẩn giấu các thông tin khác của đa thức. Một số kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, mức độ an toàn và các tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với các miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic đang sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và tính an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác thực, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh gộp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và độ an toàn cao. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), phép toán được thực hiện để tạo thành cơ sở cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng thực Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng thực chuyển vị đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng thực tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân, và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 miền hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến cho trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân có tính tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố vs. Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào phép cộng trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc giản lược (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong cách biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được gói gọn thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu suất tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân tích thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra hoán vị------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi, dùng để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác thực chứng kiến bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn mối quan hệ toán học của mạch C(x, ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác thực giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên hypercube boolean có bằng với một giá trị tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác thực một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách biến đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, cấu trúc tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 lĩnh vực sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không ở mọi nơi trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho 0: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho 0, dẫn đến không thể khẳng định U có khác 0 trên tứ diện; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa thức đa biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới ------ áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, ảo
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
14 thích
Phần thưởng
14
5
Chia sẻ
Bình luận
0/400
AirdropHunter007
· 11giờ trước
Có thể lấy được bao nhiêu lông cừu?
Xem bản gốcTrả lời0
GateUser-3824aa38
· 07-20 17:31
Mới chỉ 32 ký tự đã cảm thấy nhiều, đủ để cạnh tranh.
Xem bản gốcTrả lời0
SchroedingerGas
· 07-20 17:30
Phí gas thật sự quá trừu tượng! Ai hiểu được chứ?
Xem bản gốcTrả lời0
WhaleWatcher
· 07-20 17:23
Giảm vùng tối ưu bull ơi, cái圈 của chúng ta sớm muộn cũng phải thay đổi thôi.
Xem bản gốcTrả lời0
MechanicalMartel
· 07-20 17:08
stark nặng quá rồi, khi nào thì có thể nhanh hơn một chút?
Phân tích giao thức Binius: Tối ưu hóa và đổi mới STARKs trong miền nhị phân
Phân tích nguyên lý STARKs Binius và suy nghĩ về tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các số trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của bằng chứng dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ nhất là 252 bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64 bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32 bit, nhưng bề rộng mã hóa 32 bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với điều đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường dẫn phát sinh STARKs
| Đại số | Độ rộng mã hóa | Hệ thống đại diện | |------|----------|----------| | Thế hệ 1 | 252bit | StarkWare | | Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 | | Thế hệ thứ 3 | 32bit | Polygon zkEVM | | Thế hệ thứ 4 | 1bit | Binius |
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện nghiên cứu gần đây về miền hữu hạn, nghiên cứu về miền nhị phân có thể truy nguyên về thập kỷ 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực mật mã, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
QR mã, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, do đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn dấu vết trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện dữ liệu giống nhau bằng hai cách khác nhau: trước tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì mỗi chiều của siêu khối đều có độ dài là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể xem siêu khối như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là lõi của hệ thống chứng minh, biến đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức thông qua việc tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, trong khi vẫn ẩn giấu các thông tin khác của đa thức. Một số kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, mức độ an toàn và các tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với các miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic đang sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và tính an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác thực, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh gộp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và độ an toàn cao. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), phép toán được thực hiện để tạo thành cơ sở cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng thực Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng thực chuyển vị đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng thực tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân, và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 miền hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến cho trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân có tính tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố vs. Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào phép cộng trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc giản lược (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong cách biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được gói gọn thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu suất tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân tích thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra hoán vị------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi, dùng để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác thực chứng kiến bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn mối quan hệ toán học của mạch C(x, ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác thực giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên hypercube boolean có bằng với một giá trị tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác thực một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách biến đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, cấu trúc tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 lĩnh vực sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không ở mọi nơi trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho 0: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho 0, dẫn đến không thể khẳng định U có khác 0 trên tứ diện; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa thức đa biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới ------ áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, ảo